3. Das quantenmechanische Atommodell

3.1 Die de Broglie Elektronenbahnen
3.2 Heisenberg verwirft den Bahnbegriff
3.3 Das Schrödinger Atommodell

Die Bahnforderungen für die Elektronen, die aus den Bohrschen und Sommerfeldschen Atommodellen ergaben (z.B. das Elektron darf auf seiner Bahn nicht strahlen) ließen sich damals nicht aus Gesetzen herleiten. Man wußte weder, warum die Elektronen nicht strahlen, noch wußte man, wie die Bahnen der Elektronen konkret definiert sind. Mit der klassischen Physik konnten hierauf keine Antworten gegeben werden.
Der erste, der versuchte ein quantenmechanisches Bild vom Atomaufbau zu entwickeln war der französische Physiker Louis Victor de Broglie.

3.1 Die de Broglie Elektronenbahnen

Einstein hatte bereits 1905 die Forderung aufgestellt, daß Licht sowohl als Welle wie auch als Teilchen angesehen werden kann. De Broglie folgerte: Wenn Licht sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzt, dann müssen Teilchen (wie z.B. Elektronen) neben ihren Teilcheneigenschaften auch Welleneigenschaften besitzen.
Laut de Broglie besitzen Teilchen eine Wellenlänge, die sog. de-Broglie-Wellenlänge. Er definierte die Wellenlänge als:

Mit Hilfe dieser Beziehung ließen sich die Elektronenbahnen erklären.
Bohr hatte in seinem Atommodell eine Quantenbedingung für kreisförmige Elektronenbahnen angegeben:
,
mit n = 1,2,3... .

Wenn man statt der Winkelgeschwindigkeit w die Bahngeschwindigkeit v benutzt gilt:

Statt m·v = p verwendet man die Beziehung der de-Broglie-Wellenlänge:

Damit ergibt sich:

.

Ein Elektron darf demnach den Atomkern nur auf solchen Bahnen umkreisen, deren Umfang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlänge darstellt. Auf diesen Bahnen entstehen dann stehende Elektronenwellen. Dies bedeutet, daß weder Energie noch Masse transportiert wird. Damit kann das Elektron auf dieser Bahn nicht strahlen. Wenn der Umfang der Elektronenbahn nicht diesem Kriterium entspricht, interferieren die Enden der Wellenzügen. Es kommt zu destruktiver Interferenz, das Elektron würde elektromagnetische Strahlung abgeben. Die Elektronenwelle würde sich damit praktisch selbst zerstören, bzw. das Elektron würde in den Kern stürzen.
Die oben hergeleitete Beziehung gilt lediglich für Kreisbahnen. Für die Ellipsenbahnen läßt sich aber ebenfalls eine ähnliche Bedingung herleiten.
Mit der de-Broglie-These konnte gezeigt werden, wie die Elektronenbahnen definiert sind und warum sie auf ihren Bahnen nicht strahlen.

3.2 Heisenberg verwirft den Bahnbegriff

1925 stellte der dt. Physiker Werner Heisenberg eine der wichtigsten Beziehungen in der Quantenphysik auf: die Unschärferelation. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation ist es unmöglich zugleich den Ort und den Impuls eines Mikroobjektes zu bestimmen. Laut Heisenberg ist es sinnlos einem Teilchen zu einem Zeitpunkt einen Ort und einen Impuls zuzuordnen. Für beide Größen liegt jeweils eine gewisse Unschärfe vor, die in folgender Gleichung verknüpft ist:
.
Die Unschärferelation scheint einen großen Einfluß auf den Bahnbegriff der Elektronenbahn auszuüben. Welche Schwierigkeiten sich bei der Verknüpfung des Bahnbegriffes mit der Unschärferelation bilden, zeigt folgendes Beispiel. Mit Hilfe des Bohrschen Atommodels ließ sich die Bahngeschwindigkeit für das Elektron des Wasserstoffatoms ermitteln. Sie betrug v = 2,2 · 10⁶ m/s.
Man nimmt an, daß sich das Elektron im Atom aufhält. Der Durchmesser des Atoms beträgt D x = 10^-10m.
Der Aufenthaltsort des Elektrons ist demnach nur mit der Genauigkeit des Atomdurchmessern definiert. Für die Unschärfe der Geschwindigkeit folgt deshalb:

Die Unschärfe der Geschwindigkeit ist also größer als die berechnete Geschwindigkeit. Man kann deshalb nicht annehmen, daß sich das Elektron mit einer ganz genauen Geschwindigkeit um den Atomkern bewegt.
Eine weitere Rechnung soll ebenfalls das Versagen des Bahnbegriffes belegen.
Der Durchmesser des Wasserstoffatoms beträgt 10^-10 m. Nach der Definition des Bahnbegriffes muß sich das Elektron innerhalb dieses Durchmessers befinden. Wenn man von einer Elektronenbahn ausgehen will, sollte der relative Fehler dieser Längenbestimmung nicht größer als 1 % sein. Dies entspricht einer Ortsunschärfe von:
.
Daraus folgt eine Impulsunschärfe von:
.
Dies entspricht einer Energieunschärfe von:

Die Ionisationsenergie des Wasserstoffatoms liegt jedoch bei 13,6 eV. Die Impulsunschärfe liegt demnach um Größenordnungen über dem eigentlichen Impuls des Elektrons.
Aufgrund dieser Ergebnisse ist es fraglich, ob einem Elektron noch eine fest definierte Bahn zugeordnet werden kann. Heisenbergs Unschärferelation zeigt deutlich, daß es sinnlos ist, einem Elektron innerhalb der Atomhülle eine direkte Bahn zuzuweisen.
Dieser Widerspruch wird zwar vorerst umgangen, wenn man das Elektron nach de Broglie als Welle annimmt.
Die Unschärferelation hatte zwar gezeigt, daß sich das Elektron (bzw. die Welle) nicht mehr auf konkreten Bahnen bewegt, sie konnte aber nicht klären in welcher Weise sich nun die Elektronen um den Kern bewegen.

3.3 Das Schrödinger Atommodell

Schrödinger fand schließlich die Lösung für das Bahnproblem des Elektrons. 1925, ein Jahr, nachdem de Broglie seine These aufstellte, wandte sich Schrödinger dem Problem der Materiewellen zu. Er fand schließlich eine Lösung, die sogenannte Wellenfunktion y .y selbst besitzt keine anschauliche physikalische Interpretation. Dagegen stellt |y|², also das Quadrat des Absolutbetrags, die Wahrscheinlichkeitfunktion eines Teilchens dar, d.h. es läßt sich berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, ein bestimmtes Teilchen an einem Punkt zu einer bestimmten Zeit in einem Experiment anzutreffen.
So konnte er die Formel:
.
herleiten. [Die Herleitug finden Sie hier].

Wenn die potentielle Energie bekannt ist, lassen sich aus der Gleichung die einzelnen stationären Energiezustände berechnen, aus denen die einzelnen Spektren des Wasserstoffs folgen. Die Gleichung geht aber noch weiter. Sie erlaubt es eine genaue Berechnung der einzelnen Intensitäten der Spektrallinien, eine exakte Begründung der Auswahlregeln, sowie viele elektrische, optische und chemische Zustände des Wasserstoffatoms.
Jeder Energiezustand des Elektrons ergibt eine besondere Schwingungsform eines räumlich um den Kern gebreiteten Gebildes. Im Grundzustand ist es kugelförmig. Es bildet eine sich nach dem Rand zu auflösende Wolke. Für weitere Energieniveaus ergeben dich andere Gebilde.
Allerdings ist das schwingende Gebilde keine materielle Wolke, sondern ein Raum größter Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Diese Räume werden als Orbitale bezeichnet. Das Elektron befindet sich zu einem Zeitpunkt an irgendeinem Punkt des Orbitals. Den genauen Aufenthaltsort zu ermitteln ist praktisch fast ausgeschlossen.
Die vorhin erwähnte Funktion liefert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem Orbital. Wo sie am größten ist, kann man das Elektron am häufigsten antreffen, seltener in Randgebieten und gar nicht außerhalb des Orbitals.
Die Schrödingergleichung ist das mathematische Instrument, das nicht nur die Anordnung der Elektronen in den Hüllen der Atome beschreibt. Aus ihr läßt sich nach komplizierten mathematischen Rechnungen erklären, warum die Linien der chemischen Elemente an genau den Stellen stehen, an denen man sie beobachten kann. Aber nicht nur Elektronen in Atomen lassen sich mit der Schrödingergleichung berechnen, sondern auch Atome in Molekülen. Die Schrödingergleichung enthält die Gesetze der gesamten Chemie. Auch die Frage, welches Licht Moleküle aussenden oder absorbieren wird durch die Schrödingergleichung beantwortet. Dies gilt nicht nur für einfache Atome, sondern auch für die kompliziertesten organischen Moleküle. Mit Hilfe der Gleichung von Schrödinger, konnten die meisten Eigenschaften von Atomen und Molekülen berechnet werden. Aber nicht alle Regeln für das Verhalten der Elektronen können aus der Schrödingergleichung gefolgert werden. Das Pauliprinzip z.B. steckt nicht in der Schrödingergleichung. Es konnte erst mit neueren Prinzipien aus der Quantenphysik hergeleitet werden. Mit vielen komplizierten Gleichungen und Gesetzen aus der Quantenphysik haben wir heute ein Atommodell geschaffen, das bis jetzt widerspruchslos ist. Allerdings ist dieses Atommodell sehr kompliziert und die Gesetze, nach dem das Atommodell aufgebaut ist, stark mathematisiert. Für einen Laien sind sie nicht mehr verständlich, bzw. die heutige Vorstellung vom Aufbau der Atome ist für Physik- und Mathematiklaien nicht mehr nachvollziehbar oder vorstellbar. Auf eine weitere Vertiefung in das heutige Atommodell muß deshalb hier verzichtet werden.